MATHÉMATIQUES
L'estimation du nombre de points rationnels sur des surfaces

mathématiques - par Philippe Pajot dans mensuel n°473 daté février 2013 à la page 18 (572 mots) | Gratuit
Vous venez de démontrer une conjecture datant de 1989. Que proposait-elle ?

Régis de la Bretèche* Il s'agit de comptabiliser sur certains espaces les points dont les coordonnées sont des nombres rationnels (ils s'écrivent p/q avec p et q entiers). L'intuition du Russe Yuri Manin et de ses collègues qui ont aidé à formaliser cette conjecture repose sur une sorte de slogan affirmant que la géométrie gouverne l'arithmétique. Autrement dit, qu'on peut prédire le nombre de points selon la géométrie de l'espace considéré. C'est cette conjecture que nous avons démontrée pour une famille de surfaces baptisées surfaces de Châtelet [1].

Pourquoi compter des points rationnels sur des espaces ?

R.B. La recherche de points à coordonnées entières ou rationnelles sur une variété algébrique (le nom technique de nos espaces) est un problème mathématique ancien : on en retrouve des exemples dans les oeuvres de Diophante, au IIIe siècle de notre ère. L'existence de ces points sur des courbes elliptiques par exemple - définies par y2 = x3 + ax + b - est centrale en cryptographie ou pour prouver des résultats majeurs d'arithmétique, tel le théorème de Fermat, démontré en 1994 par le Britannique Andrew Wiles. Ce théorème stipule que l'équation xp + yp = zp, avec p plus grand que 2, n'a pas de solution où x, y et z sont des rationnels autres que la solution évidente (une des coordonnées est nulle). Pour l'équation qui permet de construire les surfaces de Châtelet, y2 + z2 = x3 - x, on sait qu'il existe à l'inverse une infinité de solutions rationnelles ou points rationnels. On ne peut pas les compter directement, mais on peut chercher les points dont la taille, en un sens mathématique précis, est bornée.

Quel a été le programme de recherche ?

R.B. S'appuyant sur un cas simple, Yuri Manin avait fourni une formule conjecturale pour estimer le cardinal de cet ensemble de points (lire « La formule de Manin », ci-dessus). Dans cette formule apparaît une constante. Or cette constante nécessite de bien comprendre la géométrie. En 1995, est sorti un article d'Emmanuel Peyre, de l'université de Grenoble, qui en donnait une interprétation géométrique en utilisant des invariants géométriques et un peu d'arithmétique. Cet article a lancé les travaux autour de la conjecture de Manin, car il comportait un programme précis préconisant de s'attaquer à des variétés particulières.

Qu'est-ce qui vous a permis d'aboutir ?

R.B. Nous avons décidé d'étudier les surfaces de Châtelet, surfaces « arithmétiquement très riches » étudiées depuis la fin des années 1950. Il y a eu un énorme programme de recherche pour décider quand ces surfaces avaient des points rationnels. Partant de ce programme, avec Tim Browning, de l'université de Bristol, nous avons élaboré des outils de théorie analytique des nombres en vue de faire des comptages sur ces variétés. Là nous étions bloqués, car dans le résultat que nous obtenions, nous peinions à interpréter cette fameuse constante. Emmanuel Peyre nous a alors rejoints, ce qui nous a permis de réinterpréter géométriquement la constante pour obtenir le résultat escompté. Un travail de presque six ans.

La conjecture est-elle démontrée dans toute sa généralité ?

R.B. Sur les surfaces de Châtelet, le programme est en passe d'être achevé. En revanche, il y a encore beaucoup à faire sur d'autres surfaces. Toutefois, il ne pourra pas y avoir de démonstration générale pour toute variété, car on sait qu'il n'existe pas de méthode générale pour montrer l'existence d'un point rationnel sur une variété.

Par Philippe Pajot

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ESPACES COURBES

La notion d'espace (intrinsèquement) courbe a mis beaucoup de temps avant de s'imposer. Pour la définir il convient de dépasser le premier modèle de géométrie systématiquement développée qu'est la géométrie d'Euclide. De ce point de vue, l'émergence au début du XIXe siècle des géométries non-euclidiennes a joué un rôle déterminant, qui a été encore amplifié par l'oeuvre révolutionnaire de Bernhard Riemann en 1854. Ce contexte mathématiquement riche sera complété par la reconnaissance par Albert Einstein qu'il pouvait servir de cadre à sa théorie de la Relativité Générale, qui identifie les effets gravitationnels à la courbure de l'espace. Le sujet n'a cessé de se développer tout au long du XXe siècle, avec notamment la recherche de conséquences sur la topologie globale de l'espace d'hypothèses sur la courbure vérifiée en chaque point sur la topologie globale de l'espace. A partir des années 1970 la considération systématique d'espaces moins réguliers a été un important moteur de la recherche, ce qui a permis l'émergence de modèles plus généraux, utilisés tant en informatique que dans l'étude de l'espace des couleurs, un sujet classique chez les mathématiciens mais peu connu du grand public. Le concept d'espace courbe a aussi fasciné certains artistes dont certaines oeuvres proposent des promenades dans les espaces courbes. inertes.

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ESPACES COURBES

La notion d'espace (intrinsèquement) courbe a mis beaucoup de temps avant de s'imposer. Pour la définir il convient de dépasser le premier modèle de géométrie systématiquement développée qu'est la géométrie d'Euclide. De ce point de vue, l'émergence au début du XIXe siècle des géométries non-euclidiennes a joué un rôle déterminant, qui a été encore amplifié par l'oeuvre révolutionnaire de Bernhard Riemann en 1854. Ce contexte mathématiquement riche sera complété par la reconnaissance par Albert Einstein qu'il pouvait servir de cadre à sa théorie de la Relativité Générale, qui identifie les effets gravitationnels à la courbure de l'espace. Le sujet n'a cessé de se développer tout au long du XXe siècle, avec notamment la recherche de conséquences sur la topologie globale de l'espace d'hypothèses sur la courbure vérifiée en chaque point sur la topologie globale de l'espace. A partir des années 1970 la considération systématique d'espaces moins réguliers a été un important moteur de la recherche, ce qui a permis l'émergence de modèles plus généraux, utilisés tant en informatique que dans l'étude de l'espace des couleurs, un sujet classique chez les mathématiciens mais peu connu du grand public. Le concept d'espace courbe a aussi fasciné certains artistes dont certaines oeuvres proposent des promenades dans les espaces courbes. inertes.

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MATHÉMATIQUES
Un algorithme pour découvrir des lois de la nature

mathématiques - par Benoît Rittaud dans mensuel n°431 daté juin 2009 à la page 28 (458 mots) | Gratuit
Deux chercheurs viennent de publier un algorithme pour produire, à partir de données tirées de l'expérience, un système d'équations simples permettant de décrire physiquement celle-ci.

Michael Schmidt et Hod Lipson, de l'université Cornell aux États-Unis, ont conçu un algorithme qui pourrait permettre aux scientifiques de différents domaines de gagner un temps précieux dans leurs travaux [1] . Une bonne partie du travail de recherche consiste en effet à trouver comment sont liées entre elles les données dont on dispose. Par exemple, Galilée, au XVIIe siècle, a trouvé comment lier la distance d parcourue par un corps en chute libre au temps t écoulé depuis le début de la chute : la formule est d = 1/2 gt 2, où g est une constante.

Dans le cas de systèmes plus complexes, il est parfois extrêmement difficile de trouver une formule qui fait le lien mathématique entre des données. Une idée est alors de mettre l'ordinateur à contribution, en lui faisant tester un grand nombre de formules jusqu'à ce qu'il tombe sur une qui donne satisfaction. Ce genre de procédure, qui existe depuis longtemps, se heurte malheureusement à plusieurs difficultés ; on pense évidemment au cas où l'ordinateur ne trouve rien, mais il arrive aussi qu'il trouve trop de formules, toutes plus compliquées les unes que les autres, et dont le lien avec les données ne soit qu'accidentel.

Pour éviter ce genre de problèmes, Michael Schmidt et Hod Lipson procèdent de la manière suivante. Ils collectent toutes les données du système à étudier, puis ils calculent la manière dont elles varient les unes par rapport aux autres, c'est-à-dire qu'ils en estiment de façon approchée les « dérivées partielles ». Ils fabriquent ensuite des formules mathématiques à tester, d'abord au hasard puis, à mesure que l'algorithme progresse, en tirant parti du travail déjà effectué. Une formule étant à tester, on en calcule les dérivées partielles, que l'on compare alors à celles fournies par les données. Par un processus convenable de sélection, l'algorithme ne retient alors que les formules les plus précises et les plus simples.

Pour tester leur algorithme, les deux chercheurs ont considéré un double pendule. Un pendule est une barre rigide qui peut osciller. À l'extrémité mobile de cette barre est fixée l'extrémité d'une seconde barre, qui peut elle aussi osciller par rapport à la première voir l'image. Les chercheurs ont relevé les données caractéristiques des mouvements d'un double pendule véritable, pour les soumettre à leur algorithme. Résultat : celui-ci a correctement trouvé sa « loi de conservation », qui permet de décrire ses mouvements.

Un tel algorithme finira-t-il par prendre la place des scientifiques ? On n'en est pas encore là, et les auteurs prennent soin d'ajouter que le travail d'interprétation des formules proposées par l'algorithme n'est, lui, pas du ressort des ordinateurs.

Par Benoît Rittaud

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