MATHÉMATIQUES
La classification des formes géométriques

mathématiques - par Propos recueillis par Philippe Pajot dans mensuel n°453 daté juin 2011 à la page 18 (650 mots) | Gratuit
Une équipe internationale de mathématiciens vient de lancer un programme de classification des formes géométriques de base en dimension 4.

Pourquoi classer les formes géométriques ?

A.-S.K. La classification est un des fondements du travail mathématique. Platon et Archimède avaient notamment commencé à classer les polyèdres réguliers. Plus généralement, les mathématiciens cherchent à classer les variétés algébriques, objets géométriques abstraits définis par des équations polynomiales. La sphère ordinaire, une surface, est un exemple de variété de dimension 2 ; les coordonnées spatiales de chaque point sont les solutions d'une équation polynomiale du second degré. Comme les variétés algébriques sont des objets définis par des équations, l'idée d'avoir une description explicite de ces objets en termes de variétés plus simples intéresse tous ceux - ingénieurs, physiciens - qui se soucient de ce qui peut être modélisé sous la forme d'une équation. C'est dans ce cadre qu'Alessio Corti, de l'Imperial College de Londres, a entrepris de classer les variétés de dimension 4.

Y a-t-il des variétés plus simples qui servent à classer les autres ?

A.-S.K. Les mathématiciens les ont baptisés « variétés de Fano », du nom du mathématicien italien Gino Fano, qui a commencé à les étudier dans les années 1930. Il s'agit de variétés que l'on peut visualiser en considérant qu'elles ont une courbure positive, et sont donc des analogues en dimension supérieure de la sphère. Ces variétés apparaissent comme les briques de base pour la compréhension de beaucoup de variétés. Les physiciens théoriciens les trouvent en outre particulièrement intéressantes, car ces variétés ont de profondes connexions avec les variétés de Calabi-Yau, des espaces que l'on rencontre en théorie des cordes lire « Un classement pour la physique théorique », ci-contre.

Comment procéder pour faire ce classement ?

A.-S.K. Pour les petites dimensions, le problème n'est pas trop compliqué. En dimension 2, la propriété positive de la courbure peut être retranscrite en termes algébriques, et on parvient à avoir une description explicite des différentes variétés, ce qui permet de les classer. Ainsi on trouve 10 variétés de Fano en dimension 2, dont la sphère ordinaire. Au-delà, les mathématiciens étaient bloqués jusqu'à ce que le Japonais Shigefumi Mori montre, en 1979, qu'en dimension supérieure ou égale à 3, il existe une sorte de succession d'opérations topologiques élémentaires permettant de ramener n'importe quelle variété soit à des variétés de Fano, soit à un type de variété dites minimales qui ne contiennent pas de courbes à courbure positive. Ces opérations ne modifient la variété que le long de sous-variétés à courbure positive - qui sont donc des variétés de Fano de dimension inférieure. Explicitement, ces opérations « contractent » les sous-variétés de courbure positive. On peut en théorie comprendre n'importe quelle variété de dimension 3 à l'aide des variétés de Fano de dimension 3, 2 et 1. C'est en ce sens que les variétés de Fano sont l'un des outils fondamentaux pour la compréhension des variétés de dimensions supérieures à 2. Grâce à ce programme de Mori, les mathématiciens sont parvenus à classer les 105 types de variétés de Fano de dimension 3.

Et en dimension 4 ?

A.-S.K. En dimension 4, la complexité augmente beaucoup, et le programme de Mori devient inapplicable directement. Récemment, Alessio Corti et son équipe ont eu l'idée d'utiliser la symétrie miroir, une symétrie issue de la théorie des cordes consistant en une dualité entre deux variétés de Calabi-Yau. Cette symétrie peut être traduite par une correspondance entre deux polytopes réflexifs - un type particulier de polyèdres - qui définissent des variétés de Fano. En dimension 3, 4 319 polytopes réflexifs donnent 105 variétés de Fano. En dimension 4, il y a 473 800 776 polytopes réflexifs, qui devraient correspondre à plusieurs millions de variétés de Fano. Même avec l'aide de l'outil informatique, cela va demander quelques années de classement pour ce travail qui fait intervenir une dizaine de mathématiciens à travers le monde.

Par Propos recueillis par Philippe Pajot

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MATHÉMATIQUES
John Milnor, topologue multicarte

mathématiques - par Propos recueillis par Philippe Pajot dans mensuel n°452 daté mai 2011 à la page 18 (595 mots) | Gratuit
Le prix Abel 2011 a été décerné à l'Américain John Milnor. Principalement topologue, ce mathématicien d'exception a apporté des contributions majeures dans de nombreux autres domaines des mathématiques.

Comment caractériser les mathématiques de John Milnor ?

L.S. Même s'il est au départ topologue, domaine dans lequel il a acquis à l'âge de 25 ans une renommée mondiale pour sa découverte des sphères exotiques, il peut être considéré comme un mathématicien universel, peut-être à l'image d'Henri Poincaré à la fin du XIXe siècle. Ses deux premiers travaux concernent la géométrie différentielle, puis il passe par la théorie des entrelacs et des noeuds avant de s'intéresser à la topologie des grandes dimensions. Vers 1965, il se plonge dans plusieurs domaines très algébriques, dont celui des formes quadratiques. En 1977, il commence à s'intéresser aux systèmes dynamiques complexes qui combinent analyse complexe, géométrie et topologie. Cela restera son domaine de prédilection. Sachant qu'il est amateur d'alpinisme, je dirais que Milnor a conquis beaucoup de sommets des mathématiques, et qu'il adore les zones frontalières entre domaines.

A-t-il été influencé par d'autres mathématiciens ?

L.S. Par plusieurs, au premier titre, le Français René Thom, connu pour sa théorie des catastrophes. Dans les années 1950, Thom travaillait à Strasbourg, et mettait au point la théorie du cobordisme, qui organise les variétés lisses c'est-à-dire différentielles en classes assez larges. L'influence de cette théorie dans la communauté des topologues fut énorme, et Milnor y a puisé plusieurs idées pour ses travaux sur les sphères exotiques. John Nash, le mathématicien Prix Nobel d'économie en 1994, était son condisciple et son ami à Princeton, où tous deux se passionnaient pour les jeux. Je devine que le style direct et la force mathématique de Nash ont inspiré Milnor.

Pour quels résultats a-t-il été récompensé ?

L.S. Il n'a pas été récompensé pour un résultat en particulier, mais pour l'ensemble de son activité. Le nombre de ses contributions majeures est colossal. Pourtant, le résultat sur les sphères exotiques, obtenu en 1956 et pour lequel il a reçu la médaille Fields en 1962, a résonné comme un coup de tonnerre dans le monde des mathématiciens voir encadré. Un résultat si important qu'il a connu une postérité rapide avec deux autres médailles Fields. Celle-ci n'est décernée que tous les quatre ans et, dès 1966 et 1970, respectivement l'Américain Stephen Smale et le Soviétique Sergei Novikov l'ont obtenue pour des travaux inspirés des chantiers ouverts par Milnor en topologie différentielle. Quatre autres médailles Fields ont ensuite été décernées pour répondre à des questions soulevées par Milnor. De plus, ce n'est pas un mathématicien du passé. Aujourd'hui encore, faisant mentir l'adage qui veut que les mathématiciens ne soient productifs que jeunes, il reste actif, publiant encore des articles très profonds et donnant des conférences dans le monde entier.

A-t-il lui-même formé beaucoup d'étudiants ?

L.S. Il a eu une vingtaine de thésards, ce qui n'est pas énorme, mais c'est surtout par l'intermédiaire de petites monographies qu'il a formé énormément de monde. Dans un style limpide et à un niveau de généralité qui inspire sans rebuter, il y fait le point en détail sur un domaine en pleine effervescence. Partant de la base avec toutes les définitions et les démonstrations, il aboutit à des avancées récentes dont souvent ses propres contributions. Que ce soit sur les singularités, sur les formes quadratiques ou sur les systèmes dynamiques, tout étudiant du domaine se doit d'avoir lu ses ouvrages. Le mathématicien hongrois George Polya disait que la première règle de style en mathématique est d'avoir quelque chose à dire. Milnor a toujours respecté cette règle.

Par Propos recueillis par Philippe Pajot

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MATHÉMATIQUES
Un modèle stochastique peut en cacher un autre

mathématiques - par Propos recueillis par Philippe Pajot dans mensuel n°451 daté avril 2011 à la page 20 (653 mots) | Gratuit
Le mouvement brownien décrit bien de nombreux phénomènes probabilistes, telle l'évolution des cours de Bourse, mais il est dangereux de s'y fier pour faire des prévisions.

Qu'est ce qu'une martingale ?

M.Y. Pour les mathématiciens, la définition est différente de celle du sens commun. Il faut partir de la notion de processus aléatoire, c'est-à-dire une fonction qui représente l'évolution, en temps discret ou continu, d'un phénomène aléatoire. Alors, une martingale est un processus aléatoire qui modélise le gain d'un joueur au cours du temps dans un jeu équitable. Sa véritable définition mathématique est plus technique, mais essentiellement, c'est une fonction qui modélise ce gain. La notion de martingale est fondamentale en probabilités, au point qu'un problème donné est souvent résolu lorsqu'une martingale adéquate est identifiée.

Quel lien y a-t-il entre mouvement brownien et martingale ?

M.Y. Le mouvement brownien, qui formalise la trajectoire aléatoire au cours du temps de la marche d'un ivrogne, est un exemple remarquable de martingale. C'est la seule martingale continue telle que, si on élève au carré cette fonction du temps et qu'on lui retranche le temps, on obtienne encore une martingale. Autrement dit, ces deux propriétés - continuité et élévation au carré moins le temps est une martingale - suffisent à caractériser le mouvement brownien. À partir de cette caractérisation, on peut souvent établir simplement que tel ou tel processus qui semblait mystérieux a priori est en fait un mouvement brownien.

Comment déduit-on la loi d'un processus à partir de ses valeurs à chaque instant ?

M.Y. C'est une tâche délicate, car la loi d'un processus stochastique ne saurait être réduite à la loi de ses valeurs à chaque instant. Imaginons que vous connaissiez à chaque instant la distribution de votre processus. Par exemple, vous connaissez la probabilité que la fonction aléatoire X, à l'instant n soit dans un certain ensemble, et cela pour tout n . Néanmoins, cela ne va pas vous permettre de déterminer de manière unique la loi de tout le processus, car, même si vous connaissez X- 1 et X n de manière individuelle, vous n'aurez pas accès à la loi conjointe par exemple. Autrement dit, vous avez accès à la probabilité que X n soit dans un certain ensemble et, séparément, à la probabilité que X n - 1 soit dans un autre ensemble, mais pas à celle que le produit X n x X n - 1 soit dans un certain ensemble. Que le temps soit discret ou continu ne change rien à cette difficulté.

Cela a-t-il des conséquences pratiques ?

M.Y. Cela peut faire des ravages. En finance, on connaît à chaque instant les prix. De ces prix on déduit la probabilité qui régit la valeur de notre processus à un chaque instant, ce qu'on nomme les marginales unitemporelles. De ces valeurs à chaque instant on cherche à déduire la loi d'évolution du processus. En fait, on ne le peut pas. Lorsqu'on a de la chance, on trouve un processus qui correspond à ces valeurs, mais en aucun cas on ne peut dire que c'est vraiment ce processus qui régit l'évolution du marché. Par souci de simplification, connaissant les lois unitemporelles l'observation des prix à chaque instant, et sachant que tel processus, que l'on construit souvent à l'aide du mouvement brownien, obéit à ces lois, on utilise ce processus. Pourtant, on ne peut pas en déduire que ce processus représente la loi d'évolution des prix. Cette équivoque peut engendrer

des surprises.

Qu'avez-vous démontré à partir de cette considération ?

M.Y. Nous avons construit explicitement un processus qui n'est pas un mouvement brownien, bien qu'il admette les mêmes marginales unitemporelles qu'un mouvement brownien [1] . Cela précise ce fait, bien connu des probabilistes, qu'il peut y avoir plusieurs processus rattachés à une même observation des prix par exemple. Pour y parvenir, nous avons fait intervenir d'autres structures, baptisées draps, dont le drap brownien, une extension à deux paramètres du mouvement brownien classique voir l'encadré.

Par Propos recueillis par Philippe Pajot

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MATHÉMATIQUES
L'arbre des langues indo-européennes

mathématiques - par Propos recueillis par Philippe Pajot dans mensuel n°450 daté mars 2011 à la page 20 (597 mots) | Gratuit
De nouveaux outils statistiques ont permis de construire un arbre généalogique de la famille des langues indo-européennes.

Pourquoi un mathématicien s'intéresse-t-il aux langues indo-européennes ?

R.R. Cette famille de plusieurs centaines de langues, dont des langues qui ont disparu, comme le latin, a donné naissance aux langues romanes, dont le français. Les linguistes cherchent à reconstruire un arbre de parenté de toutes ces langues, ce qui nécessite d'analyser leurs points communs et leurs différences. C'est là que les statistiques sont utiles.

Qu'apportent-elles à l'étude de l'arbre de ces langues ?

R.R. Elles aident à dater les séparations entre les différentes langues et à estimer le degré d'incertitude des regroupements par branches. Elles permettent aussi de traiter de grands ensembles de données, difficiles à analyser à la main. Les linguistes avaient déjà une bonne idée de la structure de l'arbre, et quelques indications pour les dates. Par exemple, si deux langues cousines ont le même mot pour « charrue », cela peut signifier que la langue ancestrale commune était parlée par une population qui connaissait la charrue. En comparant les langues et munis de ce type d'indication, les linguistes ont établi des arbres, mais la chronologie restait incertaine. Dans les années 1950, les premières tentatives d'utiliser les statistiques ont été des échecs qui ont discrédité les méthodes mathématiques de datation.

Comment dépasser les défauts de ces méthodes ?

R.R. Celles-ci supposaient notamment que les langues se diversifient à un taux constant. En appliquant aux langues les méthodes de reconstruction utilisées en biologie moléculaire, qui se passent en partie de cette hypothèse, des premiers résultats encourageants ont été publiés en 2003. Avec l'aide de linguistes, nous avons décidé de construire un modèle spécifique de la diversification des langues qui traite de nombreuses langues simultanément. Nos données sont constituées d'une centaine de mots du vocabulaire de base, des mots comme « arbre » ou « animal », qui existent dans presque toutes les langues.

Comment reconstruisez-vous l'arbre phylogénétique de ces langues ?

R.R. Le premier travail consiste à transformer ces données linguistiques en données que nous pouvons traiter statistiquement. Pour cela, on cherche à déterminer si deux mots proches ont le même sens et s'ils ont une origine commune des mots « cognats ». En établissant ces classes de cognats, les données lexicales sont codées par une matrice avec des 0 et des 1. Munis de ces données, nous tentons de calculer la fonction qui représente la densité de probabilité des différents paramètres du problème taux de diversification, âge des noeuds de l'arbre, etc.. Autrement dit, nous cherchons quels sont les paramètres les plus vraisemblables. Pour explorer cette fonction, nous avons utilisé une méthode statistique récente, dites de chaînes de Markov Monte-Carlo lire l'encadré ci-dessus.

Pouvez-vous vérifier la fiabilité des datations ?

R.R. Avant de mettre en oeuvre le modèle sur les vraies données, nous l'avons testé avec des données simulées et sur des données pour lesquelles la réponse était connue par ailleurs. Les bons résultats nous ont permis de vérifier la cohérence du modèle et la fiabilité de nos estimations. De plus, nous obtenons des résultats comparables avec deux jeux de données indépendants, l'un de 24 langues anciennes et l'autre de 87 langues modernes. Ce que nous obtenons est un arbre avec des datations et les barres d'incertitude associées [1] . Nous avons ainsi établi que l'âge de la racine de l'ancêtre commun à toutes les langues était compris entre 7 100 et 9 800 ans avant aujourd'hui, avec une probabilité de 95 %. Cette période coïncide avec l'essor de l'agriculture, ce qui expliquerait l'extension et le développement de ces langues.

Par Propos recueillis par Philippe Pajot

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